Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 13 - λ & 0 + 0 \\ 9 + 0 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 13 - λ & 0 + 0 \\ 9 + 0 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 \\ - 5 + 0 & - 13 - λ & 0 + 0 \\ 9 + 0 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $- 5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 - λ & 0 + 0 \\ 9 + 0 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 - λ & 0 \\ 9 + 0 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $9$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 - λ & 0 \\ 9 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $7$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 - λ & 0 \\ 9 & 7 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(6 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 9 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 9 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & - 13 - λ \\ 9 & 7 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & - 13 - λ \\ 9 & 7 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 9 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & - 13 - λ \\ 9 & 7 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 9 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 5 & - 13 - λ \\ 9 & 7 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 5 & - 13 - λ \\ 9 & 7 \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Passaggio 5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((- 13 - λ) (4 - λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Espandi $(- 13 - λ) (4 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (6 - λ) (- 13 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (6 - λ) (- 13 \cdot 4 - 13 (- λ) - λ (4 - λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (6 - λ) (- 13 \cdot 4 - 13 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $- 13$ per $4$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 - 13 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 13$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ - λ (- λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ + λ^{2} - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.2

Sottrai $4 λ$ da $13 λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 9 λ + λ^{2} - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.1.3

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 9 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.2

Somma $- 52 + 9 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 9 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.3

Sposta $- 52$ .

$p (λ) = (6 - λ) (9 λ + λ^{2} - 52) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.4

Riordina $9 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52) + 0 + 0$

Passaggio 5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Combina i termini opposti in $(6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52) + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Somma $(6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52)$ e $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52) + 0$

Passaggio 5.5.1.2

Somma $(6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52)$ e $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52)$

Passaggio 5.5.2

Espandi $(6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 6 λ^{2} + 6 (9 λ) + 6 \cdot - 52 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Moltiplica $9$ per $6$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ + 6 \cdot - 52 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3.2

Moltiplica $6$ per $- 52$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - (λ^{2} λ) - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{2 + 1} - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - 1 \cdot 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ^{2} - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3.6

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - 9 λ^{2} - λ \cdot - 52$

Passaggio 5.5.3.7

Moltiplica $- 52$ per $- 1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - 9 λ^{2} + 52 λ$

Passaggio 5.5.4

Sottrai $9 λ^{2}$ da $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} + 52 λ$

Passaggio 5.5.5

Somma $54 λ$ e $52 λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} + 106 λ - 312 - λ^{3}$

Passaggio 5.5.6

Sposta $- 312$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} + 106 λ - λ^{3} - 312$

Passaggio 5.5.7

Sposta $106 λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - λ^{3} + 106 λ - 312$

Passaggio 5.5.8

Riordina $- 3 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $- λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 312, \pm 2, \pm 156, \pm 3, \pm 104, \pm 4, \pm 78, \pm 6, \pm 52, \pm 8, \pm 39, \pm 12, \pm 26, \pm 13, \pm 24$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 312, \pm 2, \pm 156, \pm 3, \pm 104, \pm 4, \pm 78, \pm 6, \pm 52, \pm 8, \pm 39, \pm 12, \pm 26, \pm 13, \pm 24$

Passaggio 7.1.1.3

Sostituisci $4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $4$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Sostituisci $4$ nel polinomio.

$- 4^{3} - 3 \cdot 4^{2} + 106 \cdot 4 - 312$

Passaggio 7.1.1.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 64 - 3 \cdot 4^{2} + 106 \cdot 4 - 312$

Passaggio 7.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$- 64 - 3 \cdot 4^{2} + 106 \cdot 4 - 312$

Passaggio 7.1.1.3.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- 64 - 3 \cdot 16 + 106 \cdot 4 - 312$

Passaggio 7.1.1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $16$ .

$- 64 - 48 + 106 \cdot 4 - 312$

Passaggio 7.1.1.3.6

Sottrai $48$ da $- 64$ .

$- 112 + 106 \cdot 4 - 312$

Passaggio 7.1.1.3.7

Moltiplica $106$ per $4$ .

$- 112 + 424 - 312$

Passaggio 7.1.1.3.8

Somma $- 112$ e $424$ .

$312 - 312$

Passaggio 7.1.1.3.9

Sottrai $312$ da $312$ .

$0$

Passaggio 7.1.1.4

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312}{λ - 4}$

Passaggio 7.1.1.5

Dividi $- λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312$ per $λ - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$4$

$λ^{3}$

$3 λ^{2}$

$106 λ$

$312$

Passaggio 7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$

Passaggio 7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- λ^{3} + 4 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$

Passaggio 7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 7 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$

Passaggio 7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$

Passaggio 7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 7 λ^{2} + 28 λ$

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$

Passaggio 7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$

Passaggio 7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$	-	$312$

Passaggio 7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $78 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$78$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$	-	$312$

Passaggio 7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$78$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$	-	$312$
							+	$78 λ$	-	$312$

Passaggio 7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $78 λ - 312$

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$78$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$	-	$312$
							-	$78 λ$	+	$312$

Passaggio 7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$78$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$	-	$312$
							-	$78 λ$	+	$312$
										$0$

Passaggio 7.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- λ^{2} - 7 λ + 78$

Passaggio 7.1.1.6

Scrivi $- λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312$ come insieme di fattori.

$(λ - 4) (- λ^{2} - 7 λ + 78) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 78 = - 78$ e la cui somma è $b = - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1.1

Scomponi $- 7$ da $- 7 λ$ .

$(λ - 4) (- λ^{2} - 7 λ + 78) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.2

Riscrivi $- 7$ come $6$ più $- 13$ .

$(λ - 4) (- λ^{2} + (6 - 13) λ + 78) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(λ - 4) (- λ^{2} + 6 λ - 13 λ + 78) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(λ - 4) ((- λ^{2} + 6 λ) - 13 λ + 78) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(λ - 4) (λ (- λ + 6) + 13 (- λ + 6)) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- λ + 6$ .

$(λ - 4) ((- λ + 6) (λ + 13)) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(λ - 4) (- λ + 6) (λ + 13) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ - 4 = 0$

$- λ + 6 = 0$

$λ + 13 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $λ - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta $λ - 4$ uguale a $0$ .

$λ - 4 = 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 4$

Passaggio 7.4

Imposta $- λ + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta $- λ + 6$ uguale a $0$ .

$- λ + 6 = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi $- λ + 6 = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- λ = - 6$

Passaggio 7.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- λ = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- λ = - 6$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 7.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 7.4.2.2.2.2

Dividi $λ$ per $1$ .

$λ = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 7.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.3.1

Dividi $- 6$ per $- 1$ .

$λ = 6$

Passaggio 7.5

Imposta $λ + 13$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Imposta $λ + 13$ uguale a $0$ .

$λ + 13 = 0$

Passaggio 7.5.2

Sottrai $13$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 13$

Passaggio 7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(λ - 4) (- λ + 6) (λ + 13) = 0$ vera.

$λ = 4, 6, - 13$